Устойчивость систем автоматического управления (сау). Свойства систем автоматического управления Критерий устойчивости найквиста позволяет судить об устойчивости замкн у той системы по виду афчх разомкнутой системы
Устойчивость системы автоматического управления
Устойчивость
системы автоматического управления, способность системы автоматического управления
(САУ) нормально функционировать и противостоять различным неизбежным возмущениям (воздействиям). Состояние САУ называется устойчивым, если отклонение от него остаётся сколь угодно малым при любых достаточно малых изменениях входных сигналов. У. САУ разного типа определяется различными методами. Точная и строгая теория У. систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, создана А. М. Ляпуновым
в 1892.
═ Все состояния линейной САУ либо устойчивы, либо неустойчивы, поэтому можно говорить об У. системы в целом. Для У. стационарной линейной СЛУ, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями, необходимо и достаточно, чтобы все корни соответствующего характеристического уравнения имели отрицательные действительные части (тогда САУ асимптотически устойчива). Существуют различные критерии (условия), позволяющие судить о знаках корней характеристического уравнения, не решая это уравнение √ непосредственно по его коэффициентам. При исследовании У. САУ, описываемых дифференциальными уравнениями невысокого порядка (до 4-го), пользуются критериями Рауса и Гурвица (Э. Раус, англ. механик; А. Гурвиц, нем. математик). Однако этими критериями пользоваться во многих случаях (например, в случае САУ, описываемых уравнениями высокого порядка) практически невозможно из-за необходимости проведения громоздких расчётов; кроме того, само нахождение характеристических уравнений сложных САУ сопряжено с трудоёмкими математическими выкладками. Между тем частотные характеристики любых сколь угодно сложных СЛУ легко находятся посредством простых графических и алгебраических операций. Поэтому при исследовании и проектировании линейных стационарных САУ обычно применяют частотные критерии Найквиста и Михайлова (Х.
Найквист, амер. физик; А. В. Михайлов, сов. учёный в области автоматического управления). Особенно прост и удобен в практическом применении критерий Найквиста. Совокупность значений параметров САУ, при которых система устойчива, называется областью У. Близость САУ к границе области У. оценивается запасами У. по фазе и по амплитуде, которые определяют по амплитудно-фазовым характеристикам разомкнутой САУ. Современная теория линейных САУ даёт методы исследования У. систем с сосредоточенными и с распределёнными параметрами, непрерывных и дискретных (импульсных), стационарных и нестационарных.
═ Проблема У. нелинейных САУ имеет ряд существенных особенностей в сравнении с линейными. В зависимости от характера нелинейности в системе одни состояния могут быть устойчивыми, другие √ неустойчивыми. В теории У. нелинейных систем говорят об У. данного состояния, а не системы как таковой. У. какого-либо состояния нелинейной САУ может сохраняться, если действующие возмущения достаточно малы, и нарушаться при больших возмущениях. Поэтому вводятся понятия У. в малом, большом и целом. Важное значение имеет понятие абсолютной У., т. е. У. САУ при произвольном ограниченном начальном возмущении и любой нелинейности системы (из определённого класса нелинейностей). Исследование У. нелинейных САУ оказывается довольно сложным даже при использовании ЭВМ. Для нахождения достаточных условий У. часто применяют метод функций Ляпунова. Достаточные частотные критерии абсолютной У. предложены рум. математиком В. М. Поповым и др. Наряду с точными методами исследования У. применяются приближённые методы, основанные на использовании описывающих функций, например методы гармонической или статистической линеаризации
.
═
Устойчивость САУ при воздействии на неё случайных возмущений и помех изучается теорией У. стохастических систем.
═ Современная вычислительная техника позволяет решать многие проблемы У. линейных и нелинейных САУ различных классов как путём использования известных алгоритмов
,
так и на основе новых специфических алгоритмов, рассчитанных на возможности современных ЭВМ и вычислительных систем.
═ Лит.:
Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, Собр. соч., т. 2, М. √ Л., 1956; Воронов А. А., Основы теории автоматического управления, т, 2, М. √ Л., 1966; Наумов Б. Н., Теория нелинейных автоматических систем. Частотные методы, М., 1972; Основы автоматического управления, под ред. В. С. Пугачева, 3 изд., М., 1974.
═ В. С. Пугачев, И. Н. Синицын.
Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .
Смотреть что такое "Устойчивость системы автоматического управления" в других словарях:
Содержание 1 История 2 Основные понятия 3 Функциональн … Википедия
ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ - научное направление, изучающее принцип построения системы автоматического управления (САУ). Т. а. у. составляет одну из частей общей теории управления. Цель Т. а. у. построение работоспособных и точных САУ. Простейшая и наиболее распространенная… … Энциклопедический словарь по психологии и педагогике
Совокупность устройств, автоматически обеспечивающих выполнение с требуемой точностью выбранных программ управления газотурбинным двигателем летательного аппарата на установившихся и переходных режимах его работы. С. а. у. ГТД выполняет следующие … Энциклопедия техники
Энциклопедия «Авиация»
система автоматического управления ГТД - система автоматического управления ГТД совокупность устройств, автоматически обеспечивающих выполнение с требуемой точностью выбранных программ управления газотурбинным двигателем летательного аппарата на установившихся и переходных… … Энциклопедия «Авиация»
I Устойчивость решений дифференциальных уравнений, понятие качественной теории дифференциальных уравнений, разрабатывающееся особенно в связи с вопросами устойчивости движения (См. Устойчивость движения) в механике; имеет также важное… …
Устойчивость способность системы сохранять текущее состояние при наличии внешних воздействий. В макроэкономике устойчивость обозначает долгосрочное равновесие между эксплуатацией ресурсов и развитием человеческого общества. В метеорологии… … Википедия
См. Устойчивость системы автоматического управления … Большая советская энциклопедия
Структура управления систематизированный (строго определенный) набор средств сбора сведений о подконтрольном объекте и средств воздействия на его поведение с целью достижения определённых целей. Объектом системы управления могут быть как… … Википедия
Летательного аппарата способность летательного аппарата (в том числе летательного аппарата с системой улучшения устойчивости и управляемости) восстанавливать без вмешательства лётчика исходный режим продольного движения после прекращения действия … Энциклопедия техники
Книги
- Теория автоматического управления в примерах и задачах с решениями в MATLAB. Учебное пособие , Гайдук Анатолий Романович, Пьявченко Тамила Алексеевна, Беляев Виктор Егорович. В пособии приведены методики решения всех типов рассматриваемых примеров и задач, а также задачи для самостоятельного решения по дисциплине "Теория автоматического управления" . Материал…
- Теория автоматического управления в примерах и задачах с решениями в MATLAB. Учебное пособие. Гриф УМО вузов России , Гайдук Анатолий Романович, Пьявченко Тамила Алексеевна, Беляев Виктор Егорович. В пособии приведены методики решения всех типов рассматриваемых примеров и задач, а также задачи для самостоятельного решения по дисциплине`Теория автоматического управления`. Материал…
Рассмотренная выше устойчивость (совместно с критериями ее определения) не является единственным свойством систем автоматического управления. Системы характеризуются: запасом устойчивости, областями устойчивости, притяжения, качеством регулирования и другими характеристиками. Рассмотрим некоторые из них.
Структурная устойчивость (неустойчивость)
Это такое свойство замкнутой системы, при наличии которого она не может быть сделана устойчивой ни при каких изменениях параметров.
Пусть
.
Годограф Найквиста для данной
системы изображен на Рис.А. Устойчивость
этой системы определяется значениями
параметров
и
.
Рассматриваемая система является
структурно устойчивой.
Пусть
.
(Рис.В). Устойчивость также зависит
от параметров
и.
Система структурно устойчива.
Пусть
.
В любом случае (при любых значениях
параметров) система будет неустойчива.
То есть система является структурно
неустойчивой.
В частном случае передаточная функция
имеет вид
.
При этом соответствующее
характеристическое уравнение замкнутой
системы:
.
Нарушен принцип перемежаемости
корней и полюсов. Система неустойчива.
Структурно неустойчива.
Система с передаточной функцией
- структурно неустойчива, так как для
замкнутой системы,
при этом коэффициенты
,
,
,
,
- все положительны, но из условияследует, что
,
откуда
,
или
.
То есть система неустойчива.
Система
также структурно устойчива. Здесь звено
- квазиапериодическое (статически
неустойчиво). Характеристическое
уравнение замкнутой системы.
Откуда можно получить два граничных
условия:
и
.
Для одноконтурных систем имеют место условия (Мейеров М.В.):
Пусть одноконтурная система состоит из:
- интегрирующих звеньев,
- неустойчивых звеньев,
-
консервативных звеньев. Тогда при
отсутствии в системе дифференцирующих
звеньев она будет структурно устойчива
в том случае, если
В случае многоконтурных систем соотношения Мейерова необходимо применять к каждому контуру, входящему в систему.
Запас устойчивости
Факт обнаружения устойчивости не дает уверенности в работоспособности системы.
Возможны неточности (погрешности), так как:
математическое описании системы идеализировано;
часто бывает произведена линеаризация звеньев;
неточность определения параметров;
изменение условий работы (по отношению к моделируемым).
Следовательно, необходим запас устойчивости.
При использовании критерия Гурвица запас определяется величиной предпоследнего минора:
Если
- запас устойчивости отсутствует;
-
запас имеется.
Запас устойчивости в системе характеризует степень устойчивости.
Запас устойчивости и степень устойчивости можно определить по расположению корней характеристического уравнения и по частотных характеристикам системы.
Аналогично можно определить запас устойчивости по логарифмическим характеристикам L( ) и ( ) , применяемым при определении устойчивости по критерию Найквиста.
Область устойчивости
На практике проектировщиков систем автоматического управления интересует пространство (область, пределы, диапазон) параметров, при которых системы является устойчивой. Множество значений параметров, при которых система обладает свойством устойчивости, называется областью устойчивостисистемы.
Для определения областей устойчивости имеется несколько методик.
На основе алгебраического критерия устойчивости Гурвица;
Метод Д-разбиения;
Метод корневого годографа.
Область устойчивости по Гурвицу
определяется с помощью использования
равенств в условиях Гурвица вместо
неравенств. Чаще всего определение
границы искомой области может быть
произведено при условии
.
(Смотри пункт "Определение критического
коэффициента усиления"). Отсюда
определяется зависимость интересующего
нас параметраот
параметра.
Получаемая зависимость()-
граница области устойчивости системы.
В системах более высоких порядков возникает необходимость рассмотрения других миноров. При этом область устойчивости может сужаться.
Необходимым условием работоспособности системы автоматического управления (САУ), является её устойчивость. Под устойчивостью принято понимать свойство системы восстанавливать состояние равновесия, из которого она была выведена под влиянием возмущающих факторов после прекращения их воздействия .Постановка задачи
Получение простого, наглядного и общедоступного инструмента для решения задач расчёта устойчивости систем автоматического управления, что является обязательным условием работоспособности любого промышленного робота и манипулятора.Теория просто и кратко
Анализ устойчивости системы по методу Михайлова сводится к построению характеристического многочлена замкнутой системы (знаменатель передаточной функции), комплексной частотной функции (характеристического вектора):Где и – соответственно вещественная и мнимая части знаменателя передаточной функции, по виду которой можно судить об устойчивости системы.
Замкнутая САУ устойчива, если комплексная частотная функция , начинаясь на
стрелки начало координат, проходя последовательно n квадрантов, где n – порядок характеристического уравнения системы, т. е.
(2)
Рисунок 1. Амплитудно-фазовые характеристики (годографы) критерия Михайлова: а) – устойчивой системы; б) – неустойчивой системы (1, 2) и системы на границе устойчивости (3)
САУ электроприводом манипулятора промышленного робота (МПР)
Рисунок 2 – Структурная схема САУ электроприводом МПР
Передаточная функция данной САУ имеет следующее выражение :
(3)
где kу – коэффициент усиления усилителя, kм – коэффициент пропорциональности частоты вращения двигателя величине напряжения на якоре, Tу – электромагнитная постоянная времени усилителя, Tм – электромеханическая постоянная времени двигателя с учётом инерции нагрузки (по своим динамическим характеристикам двигатель представляет собой передаточную функцию последовательно соединённых инерционного и интегрирующего звеньев), kдс – коэффициент пропорциональности между входной и выходной величинами датчика скорости, K – коэффициент усиления главной цепи: .
Численные значения в выражение передаточной функции следующие:
K = 100 град / (В∙с); kдс = 0,01 В / (град∙с); Tу = 0,01 с; Tм = 0,1с.
Заменив s на :
(4)
Решение на Python
Здесь следует отметить, что подобные задачи на Python ещё никто не решал, во всяком случае я не нашёл. Это было связано с ограниченными возможностями работы с комплексными числами. С появлением SymPy можно сделать следующее:From sympy import *
T1,T2,w =symbols("T1 T2 w",real=True)
z=factor ((T1*w*I+1)*(T2*w*I+1)*w*I+1)
print ("Характеристический многочлен замкнутой системы -\n%s"%z)
Где I мнимая единица, w- круговая частота, T1= Tу = 0.01 ,T2= Tм = 0.1
Получим развёрнутое выражение для многочлена:
Характеристический многочлен замкнутой системы –
Сразу видим, что многочлен третьей степени. Теперь получим мнимую и действительную части в символьном отображении:
Zr=re(z)
zm=im(z)
print("Действительная часть Re= %s"%zr)
print("Мнимая часть Im= %s"%zm)
Получим:
Действительная часть Re= -T1*w**2 - T2*w**2 + 1
Мнимая часть Im= -T1*T2*w**3 + w
Сразу видим вторую степень действительной части и третью мнимой. Подготовим данные для построения годографа Михайлова. Введём численные значения для T1 и T2, и будем менять частоту от 0 до 100 с шагом 0.1 и построим график:
From numpy import arange
import matplotlib.pyplot as plt
x=
y=
plt.plot(x, y)
plt.grid(True)
plt.show()
Из графика не видно, то годограф начинается на действительной положительной оси. Нужно изменить масштабы осей. Приведу полный листинг программы:
From sympy import *
from numpy import arange
import matplotlib.pyplot as plt
T1,T2,w =symbols("T1 T2 w",real=True)
z=factor((T1*w*I+1)*(T2*w*I+1)*w*I+1)
print("Характеристический многочлен замкнутой системы -\n%s"%z)
zr=re(z)
zm=im(z)
print("Действительная часть Re= %s"%zr)
print("Мнимая часть Im= %s"%zm)
x=
y=
plt.axis([-150.0, 10.0, -15.0, 15.0])
plt.plot(x, y)
plt.grid(True)
plt.show()
Получим:
-I*T1*T2*w**3 - T1*w**2 - T2*w**2 + I*w + 1
Действительная часть Re= -T1*w**2 - T2*w**2 + 1
Мнимая часть Im= -T1*T2*w**3 + w
Теперь уже видно, что годограф начинается на действительной положительной оси. САУ устойчива, n=3, годограф совпадает с приведённым на первом рисунке.
Дополнительно убедится в том, что годограф начинается на действительной оси можно дополнив программу следующим кодом для w=0:
Print("Начальная точка М(%s,%s)"%(zr.subs({T1:0.01,T2:0.1,w:0}),zm.subs({T1:0.01,T2:0.1,w:0})))
Получим:
Начальная точка М(1,0)
САУ сварочного робота
Наконечник сварочного узла (НСУ) подводится к различным местам кузова автомобиля, быстро и точно совершает необходимые действия. Требуется определить устойчивость по критерию Михайлова САУ позиционированием НСУ.Рисунок 3. Структурная схема САУ позиционированием НСУ
Характеристическое уравнение данной САУ будет иметь вид :
Где K – варьируемый коэффициент усиления системы, a – определённая положительная константа. Численные значения: K = 40; a = 0,525.
Решение на Python
rom sympy import * from numpy import arange import matplotlib.pyplot as plt w =symbols(" w",real=True) z=w**4-I*6*w**3-11*w**2+I*46*w+21 print("Характеристический многочлен замкнутой системы -\n%s"%z) zr=re(z) zm=im(z) print("Начальная точка М(%s,%s)"%(zr.subs({w:0}),zm.subs({w:0}))) print("Действительная часть Re= %s"%zr) print("Мнимая часть Im= %s"%zm) x= y= plt.axis([-10.0, 10.0, -50.0, 50.0]) plt.plot(x, y) plt.grid(True) plt.show()Получим:
Характеристический многочлен замкнутой системы - w**4 - 6*I*w**3 - 11*w**2 + 46*I*w + 21
Начальная точка М(21,0)
Действительная часть Re= w**4 - 11*w**2 + 21
Мнимая часть Im= -6*w**3 + 46*w
Построенный годограф Михайлова, начинаясь на вещественной положительной оси (М (21,0)), огибает в положительном направлении начало координат, проходя последовательно четыре квадранта, что соответствует порядку характеристического уравнения. Значит, данная САУ позиционированием НСУ – устойчива.
Выводы
При помощи модуля SymPy Python получен простой и наглядный инструмент для решения задач расчёта устойчивости систем автоматического управления, что является обязательным условием работоспособности любого промышленного робота и манипулятора.Ссылки
- Дорф Р. Современные системы управления / Р. Дорф, Р. Бишоп. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. – 832 с.
- Юревич Е.И. Основы робототехники 2-е издание / Е.И. Юревич. – С-Пб.: БХВ-Петербург, 2005. – 416 с.
7.1. Понятие устойчивости САУ
Понятие устойчивости является важнейшей качественной оценкой динамических свойств САР. Устойчивость САР связана с характером её поведения после прекращения внешнего воздействия, которое может быть оценено решением дифференциального уравнения, описывающего работу системы. Общая теория устойчивости разработана А.М. Ляпуновым. Линейная система называется устойчивой, если ее выходная координата остается ограниченной при любых ограниченных по абсолютной величине входных воздействиях. Устойчивость линейной системы определяется ее характеристиками и не зависит от действующих воздействий.
В общем случае решение уравнения имеет вид: y(t)= y B (t) + y n (t)
где y B (t) - решение однородного уравнения (переходная или свободная составляющая); y n (t) - установившееся значение регулируемой величины (вынужденная составляющая) - решение уравнения с правой частью. Устойчивость работы системы определяется переходной составляющей. Если переходная составляющая процесса управления после прекращения внешнего воздействия стремится к нулю, то такая система является устойчивой. Другими словами устойчивость системы - это есть затухание ее переходных процессов.
Если свободная составляющая стремится к конечному значению или имеет вид гармонических колебаний с постоянной амплитудой, то система считается нейтральной. В том случае, если свободная составляющая неограниченно возрастает или имеет вид гармонических колебаний с возрастающей амплитудой, то система считается неустойчивой.
Оценка устойчивости производится на основе результатов исследования свободной составляющей, которая представляет собой решение однородного дифференциального уравнения (характеристического уравнения): D(p) = a 0 p n + a 1 p n-1 + ... + a n = 0 (4.1)
Переходная составляющая решения уравнения в общем виде y ni (t) = A i e α i t * sin(β i t + φ i)
, где α i ± jβ i - корни характеристического уравнения; A i ,Φ i - постоянные.
При этом переходная составляющая с ростом времени стремится к нулю, если вещественные части корней α i отрицательны, в противном случае амплитуда колебаний переходной составляющей возрастает (рис.4.1).
Рис.4.1. Графики переходных составляющих
Пара мнимых корней (α i =0) характеристического уравнения позволяет получить переходную составляющую в виде автоколебаний с постоянной амплитудой:
Полученные корни характеристического уравнения могут быть представлены в виде точек на комплексной плоскости (рис.4.2.).
Рис.4.2. Расположение корней САУ на комплексной плоскости корней
Для устойчивых систем необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали слева от мнимой оси комплексной плоскости корней. Если хотя бы один вещественный корень или пара комплексных сопряженных корней находится справа от мнимый оси, то система является неустойчивой. Если имеется нулевой корень или пара чисто мнимых корней, то система считается нейтральной (находящейся на границе устойчивости и неустойчивости). Таким образом, мнимая ось комплексной плоскости является границей устойчивости.
С целью упрощения анализа устойчивости систем разработаны ряд специальных методов, которые получили название критерии устойчивости. Критерии устойчивости делятся на две разновидности: алгебраические (критерий Гурвица ) и частотные (критерии Михайлова и Найквиста ). Алгебраические критерии являются аналитическими, а частотные - графоаналитическими. Критерии устойчивости позволяют также оценить влияние параметров системы на устойчивость.
Алгебраический критерий Гурвица находит широкое применение при анализе САР. Первоначально, из коэффициентов уравнения (4.1) составляется матрица главного определителя:
По диагонали матрицы от верхнего левого угла записываются по порядку все коэффициенты уравнения (4.1.), начиная с а1. Затем каждый столбец матрицы дополняется таким образом, чтобы вверх от диагонали индексы коэффициентов увеличивались, а вниз - уменьшались.
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при а0>0 все угловые определители (миноры) были также положительными, т.е.
и т.д.
Последний определитель Гурвица, как видно из приведенной выше матрицы, равен Δ n =a n *Δ n-1 . Поэтому его положительность сводится при Δ n-1 >0 к условию a n >0. Для систем первого и второго порядка критерий Гурвица сводится просто к положительности коэффициентов ai. Если определитель Δ n =0, то система находится на границе устойчивости. Из условия Δ n-1 =0 можно определить параметры, при которых система находится на границе устойчивости, например, критический коэффициент усиления разомкнутой САУ К кр.
Критерий Михайлова предполагает построение годографа на комплексной плоскости. Для построения годографа из характеристического уравнения замкнутой системы (4.1) путем подстановки p=jω получают аналитическое выражение вектора M(jω):
M(jω)=a 0 (jω) n +a 1 (jω) n-1 +...+a n (4.2)
Уравнение (4.2) является комплексным и может быть представлено в виде:
Построение годографа производится по уравнению вектора M(jω) при изменении часты от 0 до + . Оценка устойчивости системы осуществляется по углу поворота годографа при изменении частоты 0<ω< , т.е. по приращению Δ аргумента M(jω)
, (4.3)
где m - число правых корней характеристического полинома; n - порядок характеристического уравнения системы.
Тогда для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента годографа M(jω) при изменении от 0 до + равнялось n , так как m=0 для обеспечения устойчивости системы.
Критерий Михайлова формулируется так: система устойчива, если годограф Михайлова M(jω) при изменении от 0 до + , начинаясь на положительной части действительной оси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n квадрантов и в n-м квадранте уходил в .
Если годограф начинается в нулевой точке комплексной плоскости или проходит через эту точку при определенной частоте, то система считается нейтральной. В этом случае P(ω) = 0 и Q(ω) = 0.
Из этих уравнений можно определить значения параметров, при которых система находится на границе устойчивости (критические значения). На рис.4.3 приведены годографы Михайлова для устойчивых и неустойчивых САУ.
Рис.4.3. Годографы Михайлова
Имеется вторая формулировка критерия Михайлова: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы корни уравнений P(ω) = 0 и Q(ω) = 0 перемежались (чередовались), т.е. годограф последовательно пересекал оси комплексной плоскости. Этой формулировкой удобно пользоваться для исследования устойчивости систем до пятого порядка включительно. По уравнению (4.3) можно определить количество правых корней в неустойчивых системах.
7.4. Частотный критерий устойчивости Найквиста |
Критерий Найквиста - частотный критерий, позволяющий по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы оценить устойчивость работы замкнутой системы. АФЧХ может быть получена экспериментально или аналитически. Аналитическое построение АФЧХ производится обычными методами. Критерий Найквиста формулируется по разному в зависимости от того, устойчива разомкнутая система или нет.
Если разомкнутая система устойчивая, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до не охватывала точку с координатами -I, j0. Если АФЧХ разомкнутой системы проходит через точку с координатами -I, j0, то система будет нейтральной. На рис.4.4 представлены АФЧХ разомкнутых статических систем. Критерий Найквиста позволяет наглядно проследить влияние изменения параметров передаточной функции на устойчивость системы.
Рис.4.4. АФЧХ разомкнутых САУ
АФЧХ астатической системы, начинаясь на вещественной положительной полуоси, при ω->0 дугой бесконечно большого радиуса перемещается на угол, равный -ν , где ν - порядок астатизма. На рис.4.5 изображена АФЧХ устойчивой в замкнутом состоянии астатической системы первого порядка.
Рис.4.5. АФЧХ астатической САУ первого порядка
Если разомкнутая система неустойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку с координатами (-1, j0) и при изменении частоты от 0 до оборачивалась вокруг нее против часовой стрелки m раз, где m - число правых полюсов разомкнутой системы.
Существуют два класса САУ: абсолютно устойчивые и условно устойчивые. В первом классе систем только увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы может привести к потере устойчивости, а условно устойчивая система может стать неустойчивой как при увеличении, так и при уменьшении коэффициента усиления.
Для абсолютно устойчивых систем вводится понятие запаса устойчивости по амплитуде (модулю) и запаса устойчивости по фазе. Запасы устойчивости определяют на частоте среза ω ср, на которой A(ω ср)=1.
Запас устойчивости по амплитуде задается некоторой величиной 1/а (рис.4.6), которая показывает, во сколько раз можно увеличить коэффициент усиления разомкнутой системы, чтобы САУ оказалась на границе устойчивости.
Рис.4.6. АФЧХ абсолютно устойчивой системы
Запас устойчивости по фазе задается некоторым углом φ (рис.4.6). В хорошо демпфированных системах запас устойчивости по амплитуде составляет примерно 6-20 дБ, что составляет 2÷10 в линейном масштабе, а запас по фазе от 30 до 60°.
Наиболее удобно для исследования устойчивости использовать построенные л.а.х. и л.ф.х., располагая их друг под другом так, чтобы оси ординат совмещались и выбирая одинаковые масштабы оси абсцисс (рис.4.7).
Рис.4.7. ЛЧХ абсолютно устойчивой системы
По ЛЧХ разомкнутой системы можно определить запасы устойчивости: запас по фазе φ зап отсчитывается по л.ф.х. на частоте среза ω ср и равен φ зап =π - φ(ω ср), а запас по амплитуде L зап соответствует значению л.а.х. на частоте, при которой л.ф.х. равна -π (рис.4.7). Если φ(ω ср)=-&pi, то система находится на границе устойчивости. Критический коэффициент усиления разомкнутой системы K кр определяется из выражения 20*lg(K кр)=20*lg(K раз) + L зап.
Критерием Найквиста удобно пользоваться для исследования устойчивости систем с запаздыванием. В этом случае строятся ЛЧХ разомкнутой САУ с запаздыванием W τ (jω) = W(jω) * e -jωτ . Логарифмическая частотная характеристика не изменяется, а л.ф.х. сдвигается вниз на величину -ω i τ, где ω i - значение частоты в конкретной точке. Критическое значение времени чистого запаздывания τ кр, при котором САУ будет на границе устойчивости, находится по формуле: .
Чтобы спроектировать систему с заданными показателями качества, строят запретную область вокруг точки с координатами (-1, j0), в которую не должна заходить АФЧХ разомкнутой системы, как показано на рис.4.8.
7.5. Логарифмический частотный критерий.
Логарифмический критерий – это частотный критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой САУ по виду логарифмической характеристики разомкнутой системы. Этот критерий основан на однозначной связи ЛФЧХ и АФЧХ систем автоматического управления. При этом рассматриваются САУ, базирующиеся на использовании устойчивых разомкнутых систем. Кроме того, рассматриваются системы с астатизмом не выше второго порядка.
Как следует из критерия устойчивости Найквиста в устойчивых САУ фазовый сдвиг может достигать значения только при модулях комплексной передаточной функции, меньшем чем единица. Это позволяет легко определить устойчивость по виду ЛАЧХ и ЛФЧХ.
Формулировка критерия : для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы в диапазоне частот, где ЛАЧХ разомкнутой системы больше нуля число переходов фазовой характеристики прямой снизу верх превышало на число переходов сверху вниз, где а – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.
В частном случае для устойчивой разомкнутой системы (а=0) необходимым и достаточным условием замкнутой системы является необходимость выполнения следующего условия. В диапазоне частот, где , фазовая частотная характеристика не должна пересекать прямой , или пересекать ее одинаковое число раз снизу вверх и сверху вниз.
Рис. 6. ЛФЧХ устойчивой и неустойчивой САУ
Критическим значением коэффициента преобразования называется такое его значение, при котором АФЧХ проходит через точку (-1, j0) и система находится на границе устойчивости.
Запасом по модулю называется величина в децибеллах, на которую нужно изменить коэффициент преобразования САУ, чтобы привести ее к границе устойчивости.
,
где - частота, при которой фазовая характеристика равна .
Запасом устойчивости по фазе называется угол, на который нужно повернуть амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы, чтобы замкнутая САУ оказалась на границе устойчивости.
,
где – значение ФЧХ на частоте среза системы, для которой выполняется условие .
Под устойчивостью или стабильностью системы в широком смысле понимается свойство системы возвращаться в некоторое установившееся состояние или режим после нарушения какими либо внешними или внутренними факторами.
Система может характеризоваться весьма сложным поведением, непрерывно изменятся, но при этом некоторые ее параметры могут сохранять постоянные значения. В таком случае можно говорить об устойчивости системы относительно именно этих параметров.
Например, исследуя процессы в колебательном контуре, было установлено, что не зависимо от начальных значений напряжения и тока, независимо от того имеет ли место затухающие или незатухающие колебания, частота их в данном контуре всегда остается неизменной и определяется параметрами контура. Это дает права назвать колебательный контор системой устойчивой относительно частоты собственных колебаний.
По значению к понятию устойчивости близки понятии равновесия и стационарности (состояния равновесия, стационарный процесс). Однако эти понятия имеет более узкий, частный смысл. Таким образом, более узким, частным является и употребляемое иногда понятие устойчивости системы как способности её стремиться из различных начальных состояний к некоторому равновесному, стационарному состоянию.
Основным содержанием теории устойчивости является: исследования влияния возмущающих воздействий на поведения системы, при этом под возмущающими факторами понимают силы обычно неизвестные заранее, которые как следствие своей неопределенности, так и в следствие относительной малости по сравнению с основными силами, не учитываются при описании движений системы.
Другим примером устойчивости поведения системы является ее цикличности.
Цикличным поведением называется такое, когда система при отсутствии возмущений периодически многократно проходит одну и ту же последовательность состояний – устойчивое множество состояний.
Относительно некоторого возмущения действующего на систему, её состояние равновесия (или цикл) может характеризоваться несколькими типами устойчивости.
Если система возвращается в состояние равновесия при любых возможных воздействиях на неё (при любых возмущениях), то равновесия называют абсолютно устойчивым . Например, маятник.
Если система, при возмущениях возвращается в состояние равновесия только из некоторой области, то равновесие называют устойчивой относительно этой области . Здесь примером может быть кирпич, который если чуть-чуть наклонить, то вернется в свое состояние, а если сильно наклонить, то упадет.
Если после воздействия на систему она сохраняет новое состояние, вызванное этим воздействием, то систему называют безразлично устойчивой . Простейшим примером является однородный круглый диск, укрепленный на оси, проходящий через его центр.
Во всех остальных случаях, система является не устойчивой.
В сложных кибернетических системах в зависимости от характера исследуемых задач и типа возмущения предлагается применять различные методы определения устойчивости (критерии устойчивости). Одним из таких методов, получившее широкое распространение, является определение устойчивости предложенным ученым Ляпуновым: предполагается, что некоторый объект (система автоматического управления) описывается системой дифференциальных уравнений.
Устойчивость поведения систем, как правило, является положительным свойством, обеспечивающим их нормальное целенаправленное функционирования и сохранения целостности в экстремальных условиях. Однако, в ряде случаев, устойчивость отражает инертность, косность системы, ограничивающую возможность управления ими.
Устойчивость является свойством всей системы в целом, а не в какой либо отдельной её части. Система, состоящая из нескольких устойчивых подсистем, может оказаться неустойчивой и наоборот: при объединения некоторого количества неустойчивых подсистем, может возникнуть устойчивая система, в зависимости от способа такого объединения.
С понятием устойчивости тесно связано понятие гомеостаза или гомеостазиса (от греч гомео – равный, стазис – состояние), применяемое вначале в биологии, где оно обозначало поддержание постоянства существенных параметров организма (температура, давление, состава крови и т.д.). В настоящее время гомеостазисом называют свойство системы, при взаимодействии со внешней средой, сохранять существенные параметры в некоторых заданных пределах.
Для иллюстрации явления гомеостазиса английским нейрофизиологом У.Р. Эшби была построена аналоговая модель, названая им гомеостатом, содержащая 4 вращающиеся магнита, изменяющих при своем вращении сопротивления 4ьох жидкостных потенциометра.
Экономические системы и их особенности
Экономические системы представляет частный случай сложных динамических систем.
Экономическую систему определяют как функциональную подсистему общества, в которой осуществляется производство, распределение и потребление материальных благ. Схематично можно представить следующим образом:
В результате приложения общественного труда происходит преобразование природных ресурсов в материальные блага, потребляемые обществом, таким образом, общество по отношению к экономической подсистемы преобразования ресурсов (производственной системе) выступает с одной стороны как ассоциация производителей, с другой как ассоциация потребителей, формирующее определенные требования к материальным благам – их ассортименту, количеству и качеству.
Результат сравнения параметров общественной потребностей и фактически произведенных материальных благ, то есть разность между общественной потребностью и возможность её удовлетворения представляет стимул развития экономики, реализуемой в процессе управления. Однако, в процессе управления реализуется не только простые результаты такого сравнения, но и цели вырабатываемые обществом и определяемые рядом социально-политических факторов, свойственных той или иной общественной формации и в первую очередь в форме собственности на средства производства.
Экономические системы характеризуются рядом следующих особенностей:
Они отличаются большой сложностью, обусловленное в наличие множественных и достаточно сильных материальных и информационных связей между подсистемами и элементами системы
Для экономических систем характерны непрерывное, динамичное и в макро-масштабах не повторяющие развития по сравнению, например, с биологическими системами. Так если виды животных или растений в процессе эволюции меняются за период 1000, 10000 и более лет, то способы производства, экономические отношения могут претерпевать существенные и даже неоднократные изменения в течение жизни одного поколения людей.
Экономические системы испытывают непрерывное воздействие природных факторов и общества, при чем эти воздействия имеют в основном недетерминированный, а стохастический характер. Так распределение природных ресурсов, состояние погоды и другие факторы внешней среды поддаются прогнозированию лишь с некоторой степени достоверности. В свою очередь и определение потребностей общества в материальных благах так же поддаются лишь статистические оценки. Это обусловлено и сложностью и изменчивостью потребностей и вкусов отдельных членов общества, влиянием моды, и статистической природной демографией, определяющие количественные потребности общества и размеры трудовых ресурсов. Неопределенный в значительной степени характер носит так же прогнозы развития науки, возможности появления тех или иных открытий, изобретений и усовершенствований, эффективности внедрения новой техники и технологий в производство.
Одной из важнейших функций экономических систем является производство и соответственно одной из основных подсистем является производственная система.
В производственной системе осуществляется преобразование материально-вещественных компонентов – природных ресурсов в материальные блага, предназначенные для общественного потребления.
В производственной системе и соответственно производственно-технологической структуре характерны достаточно четко выражены иерархические свойства. При описании ее иерархической структуры нужно учитывать как вертикальные (отраслевые), так и горизонтальные (региональные) аспекты формирования структуры, при этом первичными элементами, то есть звеньями самого низкого уровня иерархии являются элементарные технологические операции.
Дальнейшее их рассмотрение не имеет социально-экономического смысла так как оно уже приводит в область изучения физиологических свойств. На более высоких уровнях иерархии находятся цеха, предприятия, производственные комплексы, отрасли и т.д. Подсистемы иерархической производственной системы связаны между собой в первую очередь материальными потоками (сырье, заготовки, полуфабрикаты, комплектующие изделия, готовые изделия и т.п.).
При этом каждому материальному потоку можно сопоставить определенный информационный поток. Так от производственного подразделения низшего уровня иерархии передается информация о производственных возможностях и их реализации в плановые органы более высшего порядка – объединения, отрасли которые в свою очередь передают ее в государственные органы управления.
Последние пользуясь связями сверху вниз передают административно-директивные задания и определённые параметры экономического функционирование.
На ряду с вопросами структуры производственно-экономических систем важную роль играют проблемы их инфраструктуры. Под инфраструктурой в экономике понимают совокупность отраслей и видов деятельности который является внешним по отношению к основному производственному циклу обслуживает производственную и непроизводственную сферу экономики обеспечивая тем самым нормальное функционирование. Основных отраслей материального производства и развития производительных сил.
К инфраструктуре относят:
Транспорт и связь
Научные учреждения и учебные заведения
Коммунальные хозяйства
Учреждения культуры т.д.
Особенности экономических систем выделяют особенности производственной деятельности предприятия к относящихся к данной системы. Так особенности аграрной экономической системы вытекают из особенности сельскохозяйственного производства. Одной из особенностью сельхоз производства является то, что получение продукции, осуществляется здесь единственным путем, то есть биологического синтеза с помощью растений, выращиваемых в естественном грунте.
В отличие от таких средств производства, как машины, строения, подвергающиеся износу и требующие замены такие производственные ресурсы, как уголь, нефть, руда, запасы которых истощаются, земля при правильном ведении хозяйства, наоборот может превышать свое плодородие. Тоже можно отнести и к природным ресурсам: лесам, животный мир, рыбные запасы и т.д.
Ещё одной особенностью сельхоз производства является его цикличность, при чем циклы эти могут быть весьма длительными: земледелии от года до 2ух и более лет, в садоводстве и животноводстве более десятка лет. В течение цикла производства имеет место ситуации, когда интервалы времени, необходимые для превращения исходного материала в готовый продукт, не совпадает с интервалами времени, требующие воздействие труда. Так основной процесс роста и созревание зерновых культур происходит почти без приложения труда за счет естественных воздействий окружающей среды – атмосферной влаги и солнечной радиации. А так как эти факторы оказываются от года году весьма не постоянными и даже не поддаются долгосрочному прогнозированию, то тем самым выносится стохастичность и не возможность точного планирования в природу сельхоз производства.
Существенно отличается технологичные процессы промышленного и сельхоз производства.
В промышленном производстве сырье, предметы труда заключают в себе, как правило всю массу производимого продукта, так например, для изготовления автомобиля необходимо поставить на завод соответствующее количество метала, заготовок и других материала. Между тем исходным материалом для сельхоз производства является лишь значительно меньше по массе исходного материала, элементы, например семена, которые содержат только зародыши будущего биологического объекта и некоторое минимальное количество питательных веществ, необходимого для начальной стадии их развития. В дальнейшем масса производимого продукта создается в результате естественного роста и развития растений и животных, и усвоения нужных ингредиентов из внешней среды (почва, воздух, удобрение и т.д.). Это особенность сельхоз производства является его ещё одним фактором стохастичности.
Все перечисленные основные факторы и ряд других, менее существенных затрудняет достижение в сельском хозяйстве той ритмичности, организованности, высокой эффективности использования современной техники и средств автоматизации.
- Засолка скумбрии сухим посолом в деревянном ящике
- Влияет ли на зачатие ребенка молочница и хронический кандидоз: мешает ли при планировании беременности и есть ли вероятность забеременеть Если болеть долго кандидозом можно забеременеть
- Выездная налоговая проверка: алгоритмы и порядок действий
- Военный мощь бывших стран ссср